Metode Numerik

ELIMINASI GAUSS

1. Pengertian Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2   :       :            :               = : an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

     

    Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss,bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n+1) seperti berikut ini :
  

   Selanjutnya adalah proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan linear sebagai contoh yang terdiri dari empat persamaan matematika,yang sudah diubah kedalam bentuk matrik seperti dibawah ini :

  

     Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut :

 

   Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu :

     Lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya:

 

   Sebelum dilanjutkan ke substitusi mundur, perhatikan posisi masing-masing elemen matrik augment berikut:

   

  
2. Ciri-ciri Eliminasi Gauss

      a. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
      b. Baris nol terletak paling bawah 
          c. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
      d. Dibawah 1 utama harus nol
Contoh : 
 

Berikut contoh penyelesaian persamaan linear

Diketahui persamaan linear sebagai berikut:

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan nilai x, y dan z!

Jawab:

Ubah persamaan linear ke dalam bentuk matriks, operasikan matriks tersebut seperti berikut: 
                b₁ x 1 untuk merubah a₁₁ menjadi 1

                b₂ – b₁ untuk merubah a₂₁ menjadi 0

                b₃ – 2b₁ untuk merubah a₃₁ menjadi 0

                b₃ + 3 b₂ untuk merubah a₃₂ menjadi 0

                b₃ x ½ untuk merubah a₃₃  menjadi 1 ( matriks menjadi Eselon- baris)

Sehingga didapat 3 persamaan linear baru yaitu :

        x + 2y + z = 6

                y + z = 3

                      z = 3                            kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan

y + z = 3                 y + 3 = 3                       y = 0

x+ 2y + z = 6          x + 0 + 3 = 6                       x = 3

jadi, nilai x = 3 , y = 0  dan z = 3

3. Algoritma Eliminasi Gauss

Secara umum,sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ 
:                :        :         :    =   :

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

       Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut:

a.  Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n. 
b.  Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a₁₁, a₂₂,..., a_nn atau disingkat a_ii. Jika a_ii _= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, a_ii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) ↔ (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, a_ii  ≠ 0.
c.   Proses triangularisasi. 
d.   Hitunglah nilai x_n   
e.   Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh x_n-1 , x_{n-2 , ....,}x₂ , x₁ 

Demikianlah algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut di rinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, Steven dkk. 1996. Metode Numerik . Jakarta: Erlangga

Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika

Salusu, A. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu

Label :  webwww.iaincirebon.ac.id/tmtk