Selasa, 27 November 2012

Metode Numerik : Metode Secant

Metode Secant

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Perhatikan gambar dibawah ini.
Photobucket
Persamaan garis l adalah

\frac{x-x_1}{x_0-x_1} = \frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}
Karena x = x2 maka y = 0, sehingga diperoleh

\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1} = \frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}
x2 – x1 = -\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}
x2 = x1\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}
= x1\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}
secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

xn+1 = xn\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2 menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2 sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2 dan x3 sebagai titik awal dan hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6

iterasi 1 :
ambil x0 = -1 dan x1 = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)
f(-1) = 4(-1)3 – 15(-1)2 + 17(-1) – 6 = -42
f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
x2 = (3) – \frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)} = 1.8

iterasi 2 :
ambil x1 = 3 dan x2 = 1.8
f(1.8) = 4(1.8)3 – 15(1.8)2 + 17(1.8) – 6 = -0.672
x3 = (1.8) – \frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18} = 1.84319

iterasi 3 :
ambil x2 = 1.8 dan x3 = 1.84319
f(1.84319) = 4(1.84319)3 – 15(1.84319)2 + 17(1.84319) – 6 = -0.57817
x4 = (1.84319) – \frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)} = 2.10932

iterasi 4 :
ambil x3 = 1.84319 dan x4 = 2.10932
f(2.10932) = 4(2.10932)3 – 15(2.10932)2 + 17(2.10932) – 6 = 0.65939
x5 = (2.10932) – \frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)} = 1.96752

iterasi 5 :
ambil x4 = 2.10932 dan x5 = 1.96752
f(1.96752) = 4(1.96752)3 – 15(1.96752)2 + 17(1.96752) – 6 = -0.15303
x6 = (1.96752) – \frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)} = 1.99423

iterasi 6 :
ambil x5 = 1.96752 dan x6 = 1.99423
f(1.99423) = 4(1.99423)3 – 15(1.99423)2 + 17(1.99423) – 6 = -0.02854
x7 = (1.99423) – \frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)} = 2.00036

iterasi 7 :
ambil x6 = 1.99423 dan x7 = 2.00036
f(2.00036) = 4(2.00036)3 – 15(2.00036)2 + 17(2.00036) – 6 = 0.00178
x8 = (2.00036) – \frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)} = 2.00000

iterasi 8 :
ambil x7 = 2.00036 dan x8 = 1.999996
f(1.999996) = 4(1.999996)3 – 15(1.999996)2 + 17(1.999996) – 6 = -0.0002
x9 = (1.999996) – \frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178} = 2.0000

iterasi 9 :
ambil x8 = 1.999996 dan x9 = 2.00000
f(2.00000) = 4(2.00000)3 – 15(2.00000)2 + 17(2.00000) – 6 = 0.00000
x10 = (2.00000) – \frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)} = 0.00000

n
xn-1 xn xn+1 f(xn-1) f(xn) f(xn+1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
3
1.8
1.84319
2.10932
1.96752
1.99423
2.00036
2.00000
3
1.8
1.84319
2.10932
1.96752
1.99423
2.00036
2.00000
2.00000
1.8
1.84319
2.10932
1.96752
1.99423
2.00036
2.00000
2.00000
2.00000
-42
18
-0.672
-0.57817
0.65939
-0.15303
-0.02854
0.00178
-0.00002
18
-0.672
-0.57817
0.65939
-0.15303
-0.02854
0.00178
-0.00002
0.00000
-0.672
-0.57817
0.65939
-0.15303
-0.02854
0.00178
-0.00002
0.00000
0.00000
Jadi salah satu akar dari 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 adalah 2

Label : www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar