Selasa, 27 November 2012

Metode Numerik : eliminasi gauss jordan

Eliminasi Gauss-Jordan

Tujuan dan Manfaat Eliminasi Gauss - Jordan
Tujuan:
Manfaat:
1. Membantu memahami lebih lanjut penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.
2. Membantu penyelesaian persamaan Linier
Membantu pengguna yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier.
3. Membantu mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
SEJARAH
Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988.
Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss.
Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai  didalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi.
Caranya dengan mengubah persamaan linear
tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris,
lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai
dari variabel-variabel tersebut.
Eliminasi Gauss-Jordan juga merupakan  pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi.
Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Ciri – ciri Eliminasi Gauss – Jordan
1. Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1)
2. Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks
3. Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan daripada 1-utama baris yang lebih atas
4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan
1. Tulis sistem persamaan dalam matrik augmentasi (matrik lengkap) [A|B]
2.Ubah matrik lengkap kedalam bentuk:
[A|B] → [I|C] dimana I adalah matrik identitas
3. Ketika langkah kedua sudah terpenuhi, tulis
matriks [I|C] sebagai hasil akhir persamaan
 
Ciutkan pos ini 

Metode Numerik : pengertian metode secant

Pengertian Metode Secant

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.
 f’ (X) =( f (Xn) – f (Xn-1)) / (Xn – Xn-1)
  Xn+1 = Xn – ( (f(Xn) (Xn – Xn-1)) / ( f(Xn) -f(Xn-1) )

Tujuan dan Fungsi
Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu f‘ (x).
Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope.

Algoritma Metode Secant
1.  Definisikan fungsi F(x)
2.  Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3.  Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,sebaiknya          gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
4.  Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1
5.  Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)|
     Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)
6.Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
 
 
Contoh Soal
Hitung akar persamaan dari :
dimana  x1 = 1 dan x2 = 2 ?
Jawab :
f(1) = – 4
f(2) = 3

Iterasi I :
x3   = x2 – (f(x2) (x2 – x1) / f(x2)-f(x1))
       = 2 – (3 (2-1) / 3 – (-4))
       = 1,57142
F (1.57142) = -1.36449

Iterasi 2 :
  x4   = x3 – (f(x3)(x3-x2) / f(x3)-f(x2))
         = 1.57142 – (-1,36449) (1.57142 – 2)
                     ———————————
                     -1.36449 – 3
         = 1,70540
  F (1.70540) = -0.24774

Iterasi 3 :
x5   = x4 – (f(x4)(x4-x3) / f(x4)-f(x3))
        = 1.70540 – (-0.24774) (1.71 – 1.57)
                           ————————-
                           (-0.24774)-(-1.36449)
        = 1.73514
F (1.73514) = 0.02925

Iterasi 4 :
x6   = x5 – (f(x5)(x5-x4) / f(x5)- f(x4))
      = 1.73514 – 0.02925 (1.73514 – 1.70540)
                         ————————————
                         0.02925 – (-0.24774)
      = 1.73200
F (1.73200) = -0.00051

Iterasi 5 :
x7  = x6 – (f(x6)(x6-x5) / f(x6) – f(x5))
     = 1.73200 – (-0.00051)(1.73200 – 1.73514)
                       ————————————–
                         – 0.00051 – 0.02925
     = 1.073205
F (1.073205) = 0
  .: maka akarnya adalah 1.073205

n
xn
f (xn)
xn – xn-1
f (xn) – f (xn-1)
1
1
-4
-
-
2
2
3
1
7
3
1,57142
-1,36449
-0,42858
-4,36449
4
1,70540
-0,24774
0,13398
1,11675
5
1,73514
0,02925
0,02974
0,27699
6
1,73200
-0,00051
-0,00314
-0,02976
7
1,073205
0
-
-

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7
Karena nilai f(x7) = 0, sehingga ditemukan salah satu akarnya = 1,073205

Selanjutnya dapat dilihat di : www.iaincirebon.ac.id/tmtk
 www.dkinantips.blogspot.com
www.millatulkhaniifah28.blogspot.com

Metode Numerik : Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik

 Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik

Beberapa definisi metode numerikdikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).
Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya.  Beberapa alasan tersebut sebagai berikut.
  1. Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial.  Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
  2. Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
  3. Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau  program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya.
  4. Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana  yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.
selanjutnya dapat dilihat di :
dkinantips.blogspot.com
millatulkhaniifah28.blogspot.com
www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Metode Numerik : Metode Secant

Metode Secant

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Perhatikan gambar dibawah ini.
Photobucket
Persamaan garis l adalah

\frac{x-x_1}{x_0-x_1} = \frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}
Karena x = x2 maka y = 0, sehingga diperoleh

\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1} = \frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}
x2 – x1 = -\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}
x2 = x1\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}
= x1\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}
secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

xn+1 = xn\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2 menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2 sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2 dan x3 sebagai titik awal dan hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6

iterasi 1 :
ambil x0 = -1 dan x1 = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)
f(-1) = 4(-1)3 – 15(-1)2 + 17(-1) – 6 = -42
f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
x2 = (3) – \frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)} = 1.8

iterasi 2 :
ambil x1 = 3 dan x2 = 1.8
f(1.8) = 4(1.8)3 – 15(1.8)2 + 17(1.8) – 6 = -0.672
x3 = (1.8) – \frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18} = 1.84319

iterasi 3 :
ambil x2 = 1.8 dan x3 = 1.84319
f(1.84319) = 4(1.84319)3 – 15(1.84319)2 + 17(1.84319) – 6 = -0.57817
x4 = (1.84319) – \frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)} = 2.10932

iterasi 4 :
ambil x3 = 1.84319 dan x4 = 2.10932
f(2.10932) = 4(2.10932)3 – 15(2.10932)2 + 17(2.10932) – 6 = 0.65939
x5 = (2.10932) – \frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)} = 1.96752

iterasi 5 :
ambil x4 = 2.10932 dan x5 = 1.96752
f(1.96752) = 4(1.96752)3 – 15(1.96752)2 + 17(1.96752) – 6 = -0.15303
x6 = (1.96752) – \frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)} = 1.99423

iterasi 6 :
ambil x5 = 1.96752 dan x6 = 1.99423
f(1.99423) = 4(1.99423)3 – 15(1.99423)2 + 17(1.99423) – 6 = -0.02854
x7 = (1.99423) – \frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)} = 2.00036

iterasi 7 :
ambil x6 = 1.99423 dan x7 = 2.00036
f(2.00036) = 4(2.00036)3 – 15(2.00036)2 + 17(2.00036) – 6 = 0.00178
x8 = (2.00036) – \frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)} = 2.00000

iterasi 8 :
ambil x7 = 2.00036 dan x8 = 1.999996
f(1.999996) = 4(1.999996)3 – 15(1.999996)2 + 17(1.999996) – 6 = -0.0002
x9 = (1.999996) – \frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178} = 2.0000

iterasi 9 :
ambil x8 = 1.999996 dan x9 = 2.00000
f(2.00000) = 4(2.00000)3 – 15(2.00000)2 + 17(2.00000) – 6 = 0.00000
x10 = (2.00000) – \frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)} = 0.00000

n
xn-1 xn xn+1 f(xn-1) f(xn) f(xn+1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
3
1.8
1.84319
2.10932
1.96752
1.99423
2.00036
2.00000
3
1.8
1.84319
2.10932
1.96752
1.99423
2.00036
2.00000
2.00000
1.8
1.84319
2.10932
1.96752
1.99423
2.00036
2.00000
2.00000
2.00000
-42
18
-0.672
-0.57817
0.65939
-0.15303
-0.02854
0.00178
-0.00002
18
-0.672
-0.57817
0.65939
-0.15303
-0.02854
0.00178
-0.00002
0.00000
-0.672
-0.57817
0.65939
-0.15303
-0.02854
0.00178
-0.00002
0.00000
0.00000
Jadi salah satu akar dari 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 adalah 2

Label : www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Sabtu, 24 November 2012

Keindahan Matematika : matematika, pesona, warna


Matematika Dalam Pesona Warna
Ketika hujan berhenti, akan nampak warna-warna yang dihasilkan dari proses alami. Itulah pelangi. Warna-warnanya begitu mempesona, bukan? Benarlah bahwasanya Tuhan mencintai keindahan, dan kita pun patut mensyukuri atas keindahan yang kita bisa nikmati. Namun, melihat warna pelangi  tersebut, apakah sama dengan warna-warna yang ada dalam tampilan layar monitor pc atau laptopmu? Pernakah kamu memperhatikannya? Apa hubungannya dengan matematika? Hmmm, mari kita cari tahu penjelasannya...

Warna Pelangi


Matematika menuliskan dengan cara yang beda

Sebelum kita bahas hubungan matematika dan warna, baiknya kita kenal dulu cara penulisan bilangan yang mungkin sedikit rumit berikut ini. Tau arti simbol 222? Hmm, pasti  anak SD juga tau yah. Benar sekali, ini adalah simbol angka dua ratus dua puluh dua dan simbol ini juga bisa kita tuliskan sebagai :

            2 × 100 + 2 × 10 + 2
atau
            2 × 102 + 2 × 101 + 2 × 100

Disini simbol 222 dituliskan dengan cara yang “beda” yang disebut sistem desimal, dengan basis 10  dan dengan digit angka 0, 1, 2, 3, ..., 9. Penulisan dan penterjemahan simbol seperti ini tentunya sudah kita kenal dan pahami sejak SD.
Nah sekarang bagaimana jika simbol 222 ini kita baca dengan sistem berbasis empat dengan digit angka 0, 1, 2, 3 maka simbol 222 ini bisa kita artikan sebagai

 2 × 22 + 2 × 21 + 2 × 20

jika kita hitung hasilnya ke sistem bilangan basis 10 atau desimal maka diperoleh nilai 42

            2 × 22 + 2 × 21 + 2 × 20 = 42
atau

            2224 = 4210

dimana angka index 4 dan 10 mewakili basis yang digunakan.

Ok sekarang kita sudah bisa menuliskan bilangan dengan cara yang “beda”, walaupun sebenarnya dari tulisan ini saja bisa muncul banyak pertanyaan seperti, bagaimana jika simbol yang ingin kita artikan merupakan  bilangan yang tersusun dari angka ganjil saja, angka genap saja atau campuran keduanya? yang jelas kita tidak sedang membahas sistem bilangan disini, ingat tujuan awal kita adalah menemukan hubungan matematika dan warna yang muncul pada layar monitor.

Apa itu Warna?

Secara etimologis warna atau colour berasal dari bahasa latin Celare, dan kamus bahasa indonesia menterjemahkannya sebagai
war.na
[n] (1) kesan yg diperoleh mata dr cahaya yg dipantulkan oleh benda-benda yg dikenainya; corak rupa, spt biru dan hijau: dia sering memakai baju yg biru — nya; (2) kl kasta; golongan; tingkatan (dl masyarakat): masyarakat Hindu membagi manusia menjadi empat –; (3) corak; ragam (sifat sesuatu): usaha partai itu tidak jelas — nya
Dan ada juga yang mengartikan bahwa warna adalah persepsi visual yang memungkinkan kita membedakan benda-benda yang dinyatakan identik.

Bagaimana kita mendeskripsikan warna

Setelah kita tau apa itu warna selanjutnya bagaimana kita mendeskripsikan warna itu. Secara umum kita kenal banyak nama-nama warna seperti merah, kuning, hitam. Namun jika kita teliti warna adalah sesuatu yang sangat subjektif, yang jenis dan nilainya tergantung pada mata yang melihatnya. Misalnya jika ada seoranga melihat tembok dan mengatakan bahwa tembok itu putih belum tentu orang lain mengatakannya demikian, bisa saja orang lain menilai tembok itu putih kekuning-kuningan atau warna lain. Nah makin bingung kan soal warna?
Lain halnya dengan warna pada tembok tadi, warna yang muncul pada layar perangkat komputer atau laptop kita akan sulit diterjemahkan menggunakan cara itu karena perangkat elektronik tidak mengenal nilai ganda seperti tadi, jadi bagaimana komputer menterjemahkan warna-warna?

Sistem warna RGB

Banyak sistem yang digunakan komputer untuk menterjemahkan sebuah warna, tetapi yang paling populer dan banyak digunakan adalah sistem RGB. RGB merupakan singkatan dari Red, Green, Blue, yang menandakan sistem ini menghasilkan warna sebagai campuran antara warna merah, hijau, dan biru yang setiap warna ini diwakili oleh angka 0 sampai 255 yang menyatakan kualitas campurannya. Jadi nilai 255-0-0 mewakili warna merah, 0-255-0 mewakili warna hijau dan 0-0-255 mewakili warna biru.


contoh penggunaan sistem RGB

Nah dari sini kita bisa tarik fakta bahwa warna 0-0-0 (hitam) sampai 255-255-255 (putih) dari sistem RBG mampu menghasilkan warna sebanyak 256 × 256 × 256 = 16.777.216 warna, dan tentunya alam bisa menghasilkan warna lebih banyak dari ini. Seberapa repotnya yah jika setiap warna ini masing-masing diberi nama. Ada yang mau coba?
Sistem RGB ini hanyalah langkah awal komputer dalam mengenali warna, karena pada dasarnya komputer yang canggih itu hanya mengenal dua perintah yaitu ON atau OFF seperti pada lampu senter. Perintah ON OFF ini biasa disimbolkan dengan
On        1
Off        0

Jadi jika komputer ingin menampilkan sebuah warna misalnya 210-70-4 dalam sistem RGB maka ia harus merubah nilai-nilai ini menjadi perintah ON dan OFF atau 1 dan 0 atau disebut juga sistem bilangan biner (bilangan berbasis dua). Dan nilai ini diterjemahkan menjadi:

            210 = 27 + 26 + 24 + 2 = 110100102

              70 = 26 + 22 + 2 = 10001102

                4 = 22 = 1002

 Maka warna 210-70-4 ini bisa kita tuliskan sebagai:

 ON
ON
OFF
ON
OFF
OFF
ON
OFF
 ON
OFF
OFF
OFF
ON
ON
OFF


 ON
OFF
OFF







Nah pertanyaan yang muncul adalah mengapa digunakan skala 0 – 255? penggunaan angka ini ternyata punya tujuan. Perhatikan

255 = 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 111111112

yang berarti jika kita menggunakan angka dari 0 sampai 255 maka dapat kita tuliskan dalam bentuk delapan digit angka biner, dimana

            0 = 000000002

            1 = 000000012

            210 70 4 = 110100102 010001102 000001002

setiap digit dari angka biner ini mewakili sebuah bit dan ke delapan digit biner itu disebut byte. Dalam ilmu komputer byte ini digunakan untuk mewakili ukuran data. Hal ini kemudian yang memungkinkan komputer memunculkan warna-warna indah di layar monitornya.
Nah sekarang kita tau kan ternyata matematika punya hubungan tak terpisahkan dengan warna-warna terutama yang tampil di layar monitor komputer kita ini.


Sumber :

Rabu, 21 November 2012

Metode Numerik



ELIMINASI GAUSS



1. Pengertian Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
  :       :            :               = :
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
     
    Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss,bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n+1) seperti berikut ini :
  
   Selanjutnya adalah proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan linear sebagai contoh yang terdiri dari empat persamaan matematika,yang sudah diubah kedalam bentuk matrik seperti dibawah ini :
  
     Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut :
 
   Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu :

     Lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya:
 
   Sebelum dilanjutkan ke substitusi mundur, perhatikan posisi masing-masing elemen matrik augment berikut:
   
  
2. Ciri-ciri Eliminasi Gauss
      a. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
      b. Baris nol terletak paling bawah 
          c. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
      d. Dibawah 1 utama harus nol
Contoh : 
 
Berikut contoh penyelesaian persamaan linear
Diketahui persamaan linear sebagai berikut:
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan nilai x, y dan z!
Jawab:
Ubah persamaan linear ke dalam bentuk matriks, operasikan matriks tersebut seperti berikut: 
                b1 x 1 untuk merubah a11 menjadi 1
                b2 – b1 untuk merubah a21 menjadi 0
                b3 – 2b1 untuk merubah a31 menjadi 0
                b3 + 3 b2 untuk merubah a32 menjadi 0
                b3 x ½ untuk merubah a33  menjadi 1 ( matriks menjadi Eselon- baris)
Sehingga didapat 3 persamaan linear baru yaitu :
        x + 2y + z = 6
                y + z = 3
                      z = 3                            kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan
                y + z = 3
                y + 3 = 3
                      y = 0
        x+ 2y + z = 6
         x + 0 + 3 = 6
                      x = 3
jadi, nilai x = 3 , y = 0  dan z = 3

3. Algoritma Eliminasi Gauss
Secara umum,sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 
:                :        :         :    =   :
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
       Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut:
a.  Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n. 
b.  Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11, a22,..., ann atau disingkat aii. Jika aii _= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii  0.
c.   Proses triangularisasi. 
d.   Hitunglah nilai xn   
e.   Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1 , xn-2 , ....,x2 , x
Demikianlah algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut di rinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.


DAFTAR PUSTAKA

Chapra, Steven dkk. 1996. Metode Numerik . Jakarta: Erlangga
Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika
Salusu, A. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu

Label :  webwww.iaincirebon.ac.id/tmtk